Abstract FR:

Le travail présenté dans cette thèse porte sur la théorie des approximants de Padé classiques et les approximants de Padé à N points pour les fonctions de Stieltjes. En étudiant plusieurs approximants de Padé d'une même fonction, on observe que certains zéros et pôles des approximants de Padé sont stables, d'autres, excédentaires, bougent et d'autres s'entrelacent en désignant les coupures. Les pôles et les zéros des approximants de Padé s'entrelacent dans ]R, ∞[ si les approximants de Padé ont été calculés à partir d'un développement en série au voisinage du zéro. Si on utilise les points complexes pour le développement, nos expériences numériques portant sur divers fonctions de Stieltjes montrent que les zéros et les pôles, qui devraient, en principe, désigner la coupure sur la demi-droite sur la direction: point de développement - point de ramification, s'écartent de cette demi-droite. Plusieurs expériences numériques montrent, que la propriété "bien connue" de la localisation des zéros et des pôles des approximants de Padé classiques, a lieu uniquement pour les approximants de Padé à N points [n-1/n], où les points considérés sont pris par paires: complexe et son complexe conjugué. On a montré que les coefficients de ces approximants de Padé sont des réels. Notre travail portait précisément sur l'étude de la localisation des zéros et des pôles des AP calculés à partir des développements dans des points complexes. Toutes les régularités observées numériquement n'ont pas encore été expliquées théoriquement. Toutefois plusieurs théorèmes ont avancé l'étude de ce nouveau problème. Les observations nouvelles ont été décrites en détail pour motiver une analyse théorique. D'après nos résultats numériques on a observé que l'erreur d'approximation dans les points complexes-conjugués est la même. En construisant les courbes d'équierreurs de l'approximant de Padé calculé en point réel et en point complexe, on a constaté que l'erreur d'approximation augmente plus vite du coté, où se trouve le point de ramification de la fonction.