Problèmes de régularité en optimisation de forme
Institution:
Cachan, Ecole normale supérieureDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this work, we studied two problems of shape optimization. First, we proved regularity of the optimal shape in the problem of minimizing, among all the subsets of some bounded open subset of R", the sum of some Dirichlet problem energy and of the perimeter, with a constraint or with a penalization upon the Lebesgue measure of the admissibles sets. First, we prove sufficient regularity for the state function associated to the optimal shape (Hôlder continuity in the general case, and Lipschitz continuity in case of nonnegative data), then we apply results from the theory of quasi minimizers to obtain the regularity of the boundary of the optimal shape itself. In a second part, we numerically studied problems dealing with optimal partitions of a fixed domain. To do so, we implemented genetic algorithms and used them to study some conjectures on these problems in some particular domains
Abstract FR:
Ce travail a porté sur deux aspects de l'optimisation de forme. On a d'abord étudié le problème de la régularité des formes optimales pour la minimisation, parmi les sous ensembles mesurables d'un ouvert borné de R°, de la fonctionnelle somme de l'énergie d'un problème de Dirichlet et du périmètre, le tout avec soit une pénalisation, soit une contrainte portant sur la mesure de Lebesgue des formes admissibles. Après avoir prouvé une régularité suffisante de la fonction d'état associée à la forme optimale (continuité HSlder dans tous les cas, et Lipschitz dans le cas de données positives), on applique les résultats de la théorie des quasi minimiseurs pour obtenir de la régularité sur le bord de la forme optimale elle même. Dans une seconde partie, on a étudié numériquement des problèmes de partages optimaux d'un domaine fixé. Pour ce faire, on a mis en place des algorithmes génétiques afin d'étudier certaines conjectures faites sur ces problèmes pour des domaines particuliers.