Twisted Kloosterman sums and cubic exponential sums
Institution:
Montpellier 2Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we study the problem of the equidistribution of finite exponential sums. More precisely, we deal with Kloosterman sums twisted by the Legendre symbol of order two or three; in the first case, these sums are Salié sums, and in the second case, they are cubic exponential sums. We use the theory of metaplectic forms to study the asymptotic behaviour of these sums, and analyse in detail the contribution coming from the cubic theta functions; then, we develop a sieve argument to study the problem of the equidistribution of the cubic exponential sums over the almost prime Eisenstein integers. Our results on metaplectic forms together with this sieve argument and the vertical Sato-Tate law allow us to prove new results on the equidistribution of the signe of cubic exponential sums, in direction of the horizontal Sato-Tate conjecture
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous étudions le problème de l'équirépartition de sommes d'exponentielles finies. Plus précisément, nous traitons le cas des sommes de Kloosterman tordues par le symbole de Legendre d'ordre deux ou trois; les premières sont des sommes de Salié, les secondes peuvent se ramener à des sommes d'exponentielles cubiques. Nous utilisons la théorie des formes métaplectiques pour étudier le comportement asymptotique de ces sommes et analysons en détail la contribution dûe aux fonctions theta cubiques; nous développons ensuite un argument de crible pour étudier les problèmes d'équirépartition des sommes d'exponentielles cubiques sur les entiers d'Eisenstein presque premiers. Nos résultats sur les formes métaplectiques, couplés à ces outils de crible et à la loi de Sato-Tate verticale permettent de prouver des résultats nouveaux sur le changement de signe de ces sommes, s'inscrivant dans le cadre de la conjecture de Sato-Tate horizontale