Abstract FR:

Cette thèse se compose de deux parties distinctes, traitant chacune d'un problème d'analyse numérique matricielle. Dans la première partie, nous proposons une méthode de projection permettant de calculer un sous-espace invariant associé aux plus petites valeurs propres de matrices issues de discrétisations d'opérateurs elliptiques. Une étape importante dans la méthode proposée réside dans un opérateur de lissage, de type multigrilles, permettant à chaque itération, de corriger l'approximation du sous-espace invariant. Une partie de ce travail est consacrée a l'étude mathématique de la convergence de cette méthode itérative. A cet effet, nous avons développé ou généralisé des résultats de convergence concernant les méthodes de sous-espaces de Krylov par bloc, les méthodes d'itération de sous-espaces, l'équation de riccati algébrique et la procédure de Rayleigh-Ritz. Cette partie se termine par la description de la mise en oeuvre de l'algorithme et quelques applications numériques. Dans la deuxième partie, nous présentons quelques méthodes pour l'étude de la stabilité discrète au sens de Lyapunov de matrices de grande taille. Ces méthodes sont basées sur la construction, via des méthodes de projection, d'un sous espace invariant correspondant aux valeurs propres de plus grands modules sur lequel la stabilité classique au sens de Lyapunov est étudiée. Ces dernières informations nous permettent de conclure sur l'instabilité de la matrice de départ à partir de l'instabilité de la matrice projetée. La stabilité est déduite à partir des fonctions de Lyapunov associées à la matrice projetée et de quelques fonctions de Lyapunov, données dans le complément orthogonal du sous espace invariant. ¨Pour finir, nous comparons l'efficacité de chaque méthode sur des problèmes appliqués.