Asymptotics of multicurves and handlebodies in TQFT via skein theory
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This is a work around a fundamental problem of quantum topology: relating quantum invarinats of 3-manifolds to their geometrie properties. We study some asymptotics for a familly of topological quantum field theory (TQFT) in dimension 2-1-1. These TQFTs are constructed in a purely combinatorial way using skein theory and Kauffman bracket. We define and study the limits of the multicurves and handlebodies in these TQFTs and interpret these limits in a geometrie way. As a corollary we obtain a limit for the quantum représentations of mapping class groups in the Fell topology and give a new and simple proof for the asymptotic faithfulness of these representations. These results are presented in two chapters which constitutes the thesis. This work has been done in collaboration with Julien Marche. The first chapter will be published in Duke Mathematical Journal.
Abstract FR:
Cette thèse est un travail autour de certains aspects d'un problème fondamental de la topologie quantique: "le lien entre les invariant quantiques des variétés de dimension 3 et la géométrie de ces variétés". On explore ce lien en étudiant certaines asymptotiques pour une famille de théories quantiques des champs topologiques (TQFT) en dimension 2+1. Ces TQFT sont construites de façon combinatoire en utilisant le crochet de Kauffman. On donne un sens à la limite des multicourbes et des corps en anses dans ces TQFT et on interprète ces limites de façon géométrique. En conséquence on obtient une limite pour les représentations quantiques des "mapping class groups" au sens de la topologie de Fell. Elle est composée de deux chapitres rédigés en anglais qui sont dans une large mesure autonomes. Ce travail a été fait en collaboration avec Julien Marché. Le premier chapitre est un article à paraître dans Duke Mathematical Journal.