Abstract FR:

L'objet de la these est l'etude quantitative dans un domaine borne d strictement pseudo-convexe de 3 problemes d'analyse: la resolution avec estimations de l'equation de cauchy-riemann et le controle de la croissance au bord dans les deux problemes d'extension et de division holomorphes relatifs au couple (d, v) ou la variete v, ensemble des zeros communs a k fonctions f#1,. . . , f#k holomorphes dans d est transverse au bord de d. Dans une premiere partie sont prouvees tout d'abord des estimations en termes de mesures de carleson pour une solution de type berndtsson-andersson de l'equation de cauchy-riemann. En application, il est donne pour une fonction de l'espace de hardy h#p(d), p fini. Enfin, pour une fonction de l'ideal d'annulation de v, soit h=h#1f#1+. . . H#kf#k, les facteurs h#i, donnes par des operateurs de b. Berndtsson, sont estimes dans des classes de lipschitz. Les 3 problemes abordes possedent des solutions canoniques etudiees dans la seconde partie de la these. Un developpement asymptotique est exhibe pour les operateurs d'extension minimale d'espaces de bergman a poids sur v dans celui de bergman a#2(d) ou de hardy h#2(d). Des estimations l#p au bord (p fini) sont obtenues pour la solution canonique de l'equation de cauchy-riemann pour les (0,1) formes, via une comparaison des projecteurs de bergman et de szego pour p different de 1, a l'aide, pour p=1, d'un developpement asymptotique de an, ou n est l'operateur de neumann, a l'adjoint de celui de cauchy-riemann