Approchabilité, viabilité et jeux différentiels en information incomplète
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Abstract EN:
In this thesis we study three main problems related to the lack of information framework in game theory. First, we study the notion of approachability in a repeated game with vector payoffs from a new point of view using qualitative differential game techniques. Namely we relate the sufficient condition for approachability (B set) to the notion of discriminating domain for a suitably chosen differential game and we introduce *approachability in related deterministic repeated game. We prove that a closed set is *approachable if and only if it contains a nonempty B-set, hence approachability and *approchability coincide. In addition one of the main goals of this part is to state a precise link between the strategies in the differential game and in the repeated game preserving approachability properties. In the second part, we study an infinite horizon discounted zero-sum differential game with lack of information on both sides. For doing this we follow the model adopted by Cardaliaguet : we find a sub-dynamic programming principle then we prove that the upper and lower value functions are respectively sub and super viscosity solutions in the dual sense of a suitable Hamilton Jacobi equation. Using a comparison principle we prove the uniqueness of a viscosity solution in the dual sense and thus the existence of the value. The last part is devoted to provide an extension of the Viability and Invanance Theorems in the Wasserstein metric space of probability measures. As application we consider an optimal control prob1em of Mayer type with uncertainty on the initial state modeled by a probability measure. Following Frankowska, we prove using the epigraphical viability approach that the value function is the unique proximal episolution of a suitable Hamilton Jacobi equation.
Abstract FR:
Notre travail de thèse comporte trois parties toutes reliées par la question du manque d’information en théorie des jeux. D’abord, nous étudions la notion d’approchabilité de Blackwell dans les jeux répétés à paiements vectoriels en utilisant les techniques développées dans le cadre des jeux différentiels qualitatifs. En effet, nous reformulons la condition suffisante d’approchabilité d’un ensemble fermé (B-ensemble) par la notion d’un domaine discriminant pour un jeu différentiel qualitatif approprié. En introduisant un jeu répété auxiliaire, nous prouvons qu’un ensemble fermé est *-approchable (i. E. , approchable de manière déterministe) si et seulement s’il contient un B-ensemble non vide. Un de nos résultats principaux est d’établir les liens entre les stratégies de comportement dans les jeux répétés et les stratégies non anticipatives dans le cadre du jeu d’approchabilité. Nous étudions aussi un jeu différentiel escompté à horizon infini avec manque d’information des deux côtés. Pour cela nous suivons le modèle introduit par Cardaliaguet pour l’étendre au cadre de l’horizon infini. On obtient d’abord un principe de sous-programmation dynamique. Puis on prouve que les fonctions valeurs supérieure et inférieure sont respectivement des sous solutions et sur solution au sens dual de l’équation de Hamilton Jacobi associee A l’aide d’un principe de comparaison nous prouvons l’unicité de la solution au sens dual et ainsi l’existence de la valeur. Dans le dernier chapitre, nous étudions un système contrôle avec information probabiliste sur l’état initial et étendons les théorèmes de viabilité et d’invariance à l’espace de Wasserstein des mesures de probabilités. Comme application nous considérons un problème de contrôle optimal de type Mayer ou l’état du système est connu selon une loi de probabilité. Suivant l’approche épigraphique de Frankowska nous caractérisons la fonction comme unique épisolution proximale d’une équation de type Hamilton-Jacobi.