Analyse de systèmes de réaction-diffusion-advection apparaissant dans des modèles de chimie et de biomathématiques
Institution:
Cergy-PontoiseDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this work, we study some examples of reaction-diffusion-advection systems which appear in models of physics, chemistry and biology. In the first, part we study the Gray-Scott system, which modelizes a cubic autocatalytic reaction. We first establish the global existence and uniqueness of a non trivial solution of this system in a bounded domain. We also prove the non-existence of non-constant stationary solution and of traveling pulse for some domain of parameters. As for traveling waves we first give an exact solution in the bistable case. Using a perturbation method and a fixed point argument, we show that this solution still exists near this case. In the second part we are interested in traveling wave solutions of a cross-diffusion system modelizing a combustion phenomenon in a porous medium. Using the topological degree method, we show the existence of a solution of the problem in a bounded domain. Then, by a compactness argument, we show that the solution obtained this way converges to a solution of the limit problem over on the line. In the last part, we study the singular limit of a degenerate reaction-diffusion-advection equation modelizing a chemotaxis phenomenon. We prove the convergence to a solution of a free boundary problem where the equation of the interface motion is a first-order Hamilton-Jacobi equation. The proof is based on the comparison principle and on the construction of sub- and super-solutions.
Abstract FR:
Dans ce travail, on étudie quelques exemples de systèmes ou d'équations de réaction-diffusion-advection apparaissant dans des modèles de physique, de chimie et de biologie. Dans la première partie, on étudie le système de Gray-Scott qui modélise une réaction autocatalytique cubique. On commence par établir l'existence globale et l'unicité d'une solution non triviale de ce système dans un domaine borné. On montre aussi la non-existence de solution stationnaire non constante et de solution en onde pulsatoire pour certains domaines de paramètres. On s'intéresse ensuite aux ondes progressives. On donne tout d'abord une solution exacte dans le cas bistable. En utilisant une méthode de perturbation et un argument de point fixe, on montre que cette solution continue à exister lorsqu'on est proche de ce cas. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux ondes progressives solutions d'un système de diffusion croisée modélisant un phénomène de combustion dans un milieu poreux. En utilisant la méthode de degré topologique, on montre l'existence d'une solution du problème dans un domaine borné. Puis, par un argument de compacité, on montre que la solution ainsi obtenue converge vers une solution du problème limite sur tout R. Dans la troisième partie, on étudie la limite singulière d'une équation de réaction-diffusion-advection dégénérée modélisant un phénomène de chimiotaxie. On montre la convergence vers la solution d'un problème à frontière libre où l'équation du mouvement de l'interface est une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. La preuve s'appuie sur le principe de comparaison et sur des constructions des sur- et sous-solutions.