Abstract FR:

Etant donne une distance d sur le bord d'un disque de dimension deux, nous cherchons dans cette these a prolonger d en une distance sur le disque tout entier, de telle sorte que l'espace metrique obtenu soit un espace de longueur, par exemple une metrique riemannienne ou finslerienne. Le prolongement est dit rigide s'il est unique a isometrie pres. Des resultats de rigidite ont ete obtenus par r. Michel, j. P. Otal et c. B. Croke en se restreignant aux metriques riemanniennes. Nous prouvons ici la rigidite des metriques euclidiennes a singularites coniques de courbures negatives. Nous donnons egalement des exemples de metriques riemanniennes non rigides. Nous montrons ensuite qu'un tel prolongement est entierement determine par la donnee de ses courbes geodesiques, ce qui permet de decrire l'ensemble des solutions du probleme. En imposant des conditions sur la distance sur le bord et le systeme de geodesiques, l'espace de longueur obtenu provient en fait d'une metrique finslerienne ou riemannienne. On obtient finalement un critere pour que deux prolongements ne soient pas isometriques