Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude asymptotique des solutions d'equations differentielles ; elle se decompose en deux parties. La premiere partie porte sur la structure asymptotique, dans le plan, des portraits de phase d'equations differentielles polynomiales. Nous procedons dans un premier temps a la recherche des equivalents asymptotiques de toutes les solutions definies au voisinage de l'infini ; nous proposons alors une classification de ces solutions en trois categories, sur la base de leurs proprietes geometriques. L'une de ces categories correspond aux solutions dites fleuves qui ont ete recemment caracterisees dans divers travaux de recherches. Dans un deuxieme temps, nous developpons asymptotiquement les solutions. En utilisant des methodes d'etude qualitative, nous relions l'existence de series solutions formelles a l'existence de veritables solutions de l'equation differentielle. Nous procedons ensuite, par des majorations directes, a l'analyse de la convergence ou du degre de divergence de ces series. Dans un troisieme temps, nous completons la description des portraits de phase en modelisant la transition des solutions entre les structures fleuves. La seconde partie porte sur l'etude asymptotique de solutions particulieres d'une famille d'equations algebriques et periodiques. Elle pose le concept de fleuve oscillant, element structurel important de certains portraits de phase. Nous procedons dans un premier temps a la formulation de conditions necessaires et suffisantes d'existence de ces fleuves oscillants, conditions se pretant a une methode effective (algorithmique) de calcul des developpements asymptotiques. Dans un second temps, nous etudions un certain nombre de cas degeneres de fleuves oscillants, en nous basant sur des modeles a perturbations singulieres et regulieres, et des techniques d'analyse non standard