Sur les singularités oscillantes et le formalisme multifractal
Institution:
Paris 12Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The purpose of multifractal analysis is to determine the dimension of the sets where a function has a given Hölder regularity. This information is flot directly computable on real life signals and a formula called "multifractal formalism" has been introduced to deduce these dimensions from some quantities effectively computable on digitized signals. This formula is not valid in all generality and we study in this thesis several situations in which the multifractal formalism doesn't hold. Results of "Baire-type" claim that the formula given by the multifractal formalism holds quasi-surely for small value of the Hölder exponent and differs from it quasi-surely for larger ones. We prove that this is due to the presence of oscillating singularities. The multifractal formalism can't be applied on non-continuous functions. We prove that we can generalize this formula to non continuous functions by using a weaker pointwise regularity criterion than the Hölder one We study then a particular exemple of oscillating phenomon in dimension 2 which can't be caracterized by the previous pointwise criterions. We propose a method based on an algorithm of image processing to analyse it
Abstract FR:
L'objectif de l'analyse multifractale est de déterminer la dimension des ensembles de points où la fonction a une régularité hölderienne fixée. Cette in formation ne peut être calculée directement sur les signaux réels et une formule appelée formalisme multifractal a été introduite pour calculer ces dimensions à partir de quantités obtenues directement par traitement du signal. Elle n'est pas vraie en toute généralité et nous étudions dans cette thèse différentes situations dans lesquelles le formalisme multifractal n'est pas valide. Des résultats de type "Baire" démontrent que le formalisme multifractal est vrai quasi-sûrement pour de petites valeurs de l'exposant de Hölder et faux pour les autres valeurs. Nous montrons que cela est due à la présence de singularités oscillantes. D'autre part le formalisme multifractal ne s'applique qu'aux fonctions continues. Nous montrons qu'il est possible de généraliser la formule, en passant d'un critère de régularité ponctuelle hölderienne à un critère plus faible, à des fonctions qui peuvent ne plus être continues. Enfin nous étudions un cas particulier de phénomène oscillant en dimension 2 qui n'est pas caractérisé par les critères de régularité ponctuelle précédents. Nous proposons une méthode d'analyse de ce comportement à base d'un algorithme de traitement de l'image.