Abstract FR:

Le probleme principalement etudie dans cette these est de savoir si une application harmonique entre deux varietes riemanniennes est minimisante, c'est-a-dire minimise la fonctionnelle energie de dirichlet. Differentes situations sont abordees et differentes methodes sont utilisees. Le cas ou la variete image est la sphere est l'occasion de montrer un theoreme de densite dans des espaces de sobolev d'applications a valeurs dans la sphere. Lorsque la variete image est un ellipsoide de revolution, le probleme est etudie en prouvant des resultats de regularite et d'unicite. Nous nous sommes particulierement interesse aux diffeomorphismes harmoniques: a l'aide de la formule de la coaire ou de calibrations par des lagrangiens nuls, nous montrons que tout diffeomorphisme harmonique defini sur la boule unite de r**(n) et invariant par rotation est minimisant, par une decomposition de l'image reciproque de la metrique sur la variete d'arrivee, nous prouvons que tout diffeomorphisme harmonique entre surfaces riemaniennes est minimisant, et nous etablissons la regularite pour tous les homeomorphismes quasi-conformes et faiblement stationnaires entre deux surfaces riemanniennes. Nous donnons aussi un resultat d'instabilite pour une solution fondamentale au probleme des configurations statiques des cristaux liquides