Abstract FR:

Dans la première partie de cette thèse, nous déterminons la frontière de Martin des marches aléatoires sur les hypergroupes commutatifs. Après l'étude complète d'un exemple, à savoir Nd muni d'une structure d'hypergroupe polynomial, nous résolvons le cas général. Nous utilisons pour ce faire des techniques d'analyse convexe, et le théorème de représentation intégral de Choquet. Nous prouvons également que les seules fonctions harmoniques continues bornées de ces marches aléatoires sont les constantes, étendant ainsi un résultat bien connu pour les groupes abéliens. Dans la seconde partie, nous démontrons un principe d'invariance relatif au mouvement brownien de Dunkl, processus aléatoire à valeurs dans Rn généralisant le mouvement brownien classique. Nous étudions tout d'abord quelques propriétés des marches aléatoires invariantes par le noyau de Dunkl, en prouvant en particulier un théorème limite central et un théorème limite local. Nous montrons ensuite que ces marches convergent en loi vers le mouvement brownien de Dunkl, dans l'espace de Skorohod des fonctions cadlag.