Abstract FR:

Le thème central de cette thèse est l'étude et le rôle des trajectoires anormales en théorie du contrôle optimal. On étudie l'optimalité des anormales pour des systèmes affines mono-entrée avec contrainte sur le contrôle, d'abord pour le problème du temps optimal, puis pour un cout quelconque a temps final fixe ou non. On étend cette théorie aux systèmes sous-riemanniens de rang 2. Ces résultats montrent que, sous des conditions générales, une trajectoire anormale est isolée parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes conditions aux limites, et donc localement optimale, jusqu'à un premier point dit conjugue que l'on peut caractériser. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique et a la régularité de la fonction valeur associée a un système affine analytique avec un cout quadratique. On montre que, en l'absence de trajectoire anormale minimisante, la fonction valeur est sous-analytique et continue. S'il existe une anormale minimisante, on sort de la catégorie sous-analytique en général. La présence d'une anormale minimisante est responsable de la non-propreté de l'application exponentielle, ce qui provoque un phénomène de tangence des ensembles de niveaux de la fonction valeur par rapport à la direction anormale. Dans le cas affine mono-entrée ou sous-riemannien de rang 2, on décrit précisément ce contact, et on en déduit une partition de la sphère sous-riemannienne au voisinage de l'anormale en deux secteurs appelés secteur l et secteur l 2. La question de transcendance est étudiée dans le cas sous-riemannien de martinet ou la distribution est = Ker (dz y 2/2dx). On montre que pour une métrique générale graduée d'ordre 0 les sphères de petit rayon ne sont pas sous-analytiques. Dans le cas général intégrable les sphères de martinet appartiennent à la catégorie log-exp.