Abstract FR:

Une nouvelle technique de résolution des équations aux dérivées partielles elliptiques linéaires a été introduite dans dès 94. Nous appellerons cette technique formulation variationnelle ultra faible (UWVF). L'objet de ce travail est l'étude des potentialités de cette méthode pour les problèmes d'onde, en particuliers les problèmes de Helmholtz et de Maxwell. Ces deux problèmes ont de larges applications industrielles. Citons pour Helmholtz les problèmes de prospection minière, de navigation sous-marine, de contrôle des structures dans les centrales nucléaires ou pour le bâtiment, de recherche archéologique, de façon générale pour tous les problèmes de détection de fissures ou de cavité. De plus, le cas simplifié de Helmholtz scalaire dans un milieu borne bi-dimensionnel à caractéristiques constantes non dissipatives est intéressant pour ses vertus pédagogiques. Cette étude fait l'objet d'une première partie dont la présentation suit celle de la méthode des éléments finis (fem). En effet, si les deux méthodes sont conceptuellement différentes, elles sont proches dans la mise en œuvre pratique. Le premier chapitre est dédié à l'étude du problème continu et de la formulation variationnelle. Le deuxième chapitre concerne la technique de discrétisation de type Galerkin. Le troisième chapitre étudie l'efficacité de la méthode du point de vue de l'ordre de convergence. Ceci est réalisé par des démonstrations mathématiques ainsi qu'une large série d'expériences numériques. En particulier, il est montré et prouvé que l'ordre de convergence est minoré par une loi linéaire en fonction du nombre de degrés de liberté. Des applications à des problèmes de diffraction sont présentées dans un quatrième chapitre. Enfin, un dernier chapitre généralise la formulation variationnelle au cas de coefficients variables. Pour d'autres applications industrielles, la deuxième partie de cet ouvrage étudie les problèmes harmoniques d'électromagnétisme en domaine borné dans des milieux aux caractéristiques scalaires complexes. Entre autres applications, citons les problèmes de communications, libres dans l'espace ou canalisées par un guide d'onde, et les problèmes de détection aux nombreuses applications militaires. Cette partie, légèrement moins complète que la première en ce qui concerne les analyses théoriques de la méthode, présente un grand nombre de simulations numériques et de comparaisons aux méthodes classiques. Néanmoins l'analyse du problème suit la même démarche logique en présentant les difficultés supplémentaires induites par le caractère tri-dimensionnel des inconnues et du domaine ainsi que par les conditions supplémentaires que sont les relations de gauss ou relations de divergence. Un résultat important non trivial concerne l'ordre de convergence de la méthode dans le vide pour un problème sans source volumique. L'ordre de la méthode évolue en racine carrée du nombre de degrés de liberté, ce qui, pour un problème tri-dimensionnel, constitue un bon résultat.