Courants géodésiques et surfaces
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The first part of this work is concerned with some geometric questions about the 3-dimensional manifolds called "compression bodies". In the first chapter, one defines a space associated to a compression body N : it is the quotient of an open subset of the space of measured laminations on the compressible component S of ∂N by the action of a certain subgroup of the modular group of S. This space carries a natural map to the space of geodesic currents C(N) of the group π1(N). The main result is that this map is an homeomorphism on its image L(N). The second chapter introduces some technics to understand the frontier of L(N) in C(N). One considers there the problem oh characterizing the conjugacy classes of the free group G on g generators which can be represented by an embedded loop on the boundary of an handlebody with fundamental group G. One studies therefore some equivalence relations on the space of ends of the free group G. The second part is concerned with the problem of reconstructing Riemannian metric on a surface from some spectral data. One shows in the third chapter that two negatively curved metrics on a closed surface S which give the same length to each homotopy class π1(S) are isotopic. In the fourth chapter, one shows that two negatively curved metrics on a compact disc D² which induce the same distance function on ∂D² are isotopic.
Abstract FR:
La première partie de ce travail porte sur des questions géométriques concernatn les variétés compactes de dimension trois (les bretzels creux) obtenues en recollant des tores solides D²xS¹ et des surfaces épaissies ΣxI à une boule B³ le long de disques contenus dans le bord. Dans le premier article, on définit un espace associé à un bretzel creux N : c'est le quotient d'un ouvert de l'espace des laminations mesurées sur la composante compressible S du bord de N par l'action d'un certain sous-groupe du groupe modulaire de S. Cet espace est muni d'une application naturelle dans l'espace des courants géodésiques C(N) du groupe π1(N). Le résultat principal est que cette application est un homéomorphisme sur son image L(N). Le second article introduit quelques techniques dans le but de comprendre la frontière de L(N) dans C(N). On y considère le problème de caractériser les classes de conjugaison du groupe libre G à g générateurs qui peuvent être représentées par des courbes simples sur le bord d'un bretzel (i. E. La somme connexe le long du bord de g tores solides S¹xD²). On étudie pour cela certaines relations d'équivalence sur l'espace des bouts du groupe libre G. La seconde partie porte sur le problème de reconstruire une métrique riemannienne sur une surface à partir de données spectrales. On montre dans le troisième article que deux métriques de courbure négative sur une surface fermée S qui donnent chacune la même longueur à toute classe d'homotopie de π1(S) sont isotopes. Dans le quatrième article, on montre que deux métriques de courbure négative sur un disque compact D² qui induisent la même fonction distance sur le bord ∂D², sont isotopes.