Abstract FR:

Dans la premiere partie de cette these on etudie le comportement asymptotique des trajectoires de systemes dynamiques dissipatifs associes a l'etude de problemes d'optimisation convexes en dimension finie et infinie. On considere tout d'abord la methode de newton continue pour laquelle on montre, sous des hypotheses de forte convexite, que les trajectoires convergent vers l'unique minimum. On construit un nouveau systeme couplant la methode de newton avec des schemas d'approximation, ce qui permet de selectionner des solutions particulieres dans le cas de problemes d'optimisation mal poses en unicite. On etudie d'autre part le systeme de la boule pesante avec frottement, un systeme oscillant amorti, dont on montre la convergence faible des trajectoires vers des optima. Des versions discretes des systemes dynamiques precedents sont etudies pour lesquels on obtient des resultats de convergence similaires. Dans la deuxieme partie, on considere des methodes d'approximation pour certaines classes de problemes variationnels. En dimension finie, on etudie la methode de penalisation exponentielle en programmation mathematique convexe, et l'on montre que cette methode selectionne a la limite une solution particuliere que l'on caracterise par un schema hierarchique de problemes min-max. En dimension infinie, on etudie l'approximation l#p du probleme de l'extension lipschitzienne minimale, dans le cas non homogene. On obtient un resultat de selection, utilisant la notion de solution de viscosite pour une equation elliptique degeneree. Enfin, on etudie l'homogeneisation de problemes d'elasticite non lineaire par des methodes directes de -convergence.