Cohomologie de Gl2(Z[i,1/2]) à coefficients dans F2
Institution:
Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The aim of this Phd thesis was to compute H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2). This cohomology ring appears in a certain version of the conjecture of Lichtenbaum and Quillen, asserting that the cohomology modulo 2 of the classifying space of a general linear group over Z[1/2] should be detected by the cohomology of its subgroup of diagonal matrices. The original idea was to show that this conjecture fails in the special case of the general linear group of rank 4 over Z[1/2], and the cohomology of BGL_2(Z[i,1/2]) should have been the main argument. By computing H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2), we proved that the conjecture is true in the case of GL_2(Z[i,1/2]). The calculation of H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) depends on the analysis of a certain space Z on which PSL_2(Z[i]) acts in a good way, and the as well as on calculation of H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) and H*(BGo,F_2) where Go is a suitable subgroup of PSL_2(Z[i]) such that PSL_2(Z[i,1/2]) is isomorphic to the amalgamated sum PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]).
Abstract FR:
Le but de cette thèse était le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2). Cet anneau de cohomologie apparaît dans une version de la conjecture de Lichtenbaum et Quillen, qui affirme que la cohomologie modulo 2 du classifiant d'un groupe linéaire à coefficients dans Z[1/2] devrait être détectée par la cohomologie de son sous-groupe des matrices diagonales. L'idée originale était de montrer que cette conjecture est fausse dans le cas de GL_4(Z[1/2]) et la cohomologie de BGL_2(Z[i,1/2]) aurait dû être l'argument principal. En calculant H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2), nous avons prouvé que la conjecture est vraie dans le cas de GL_2(Z[i,1/2]). Le calcul de H*(BGL_2(Z[i,1/2]),F_2) dépend de l'analyse d'un certain espace Z sur lequel agit PSL_2(Z[i]), et du calcul de H*(BPSL_2(Z[i]),F_2) et H*(BGo,F_2) oGo est un sous-groupe de PSL_2(Z[i]) tel que PSL_2(Z[i,1/2]) est isomorphe à la somme amalgamée PSL_2(Z[i])*_Go PSL_2(Z[i]). On obtient le résultat en étudiant plusieurs suites spectrales.