Abstract FR:

Le probleme de lagrange, minimiser une fonction cout sur une famille de courbes assujeties a des contraintes nonholonomes du premier ordre et aux contraintes aux limites usuelles (dirichlet) a fait l'objet de nombreuses etudes. Entre autres, celle de p. Griffiths dans son livre exterior differential systems and calculus of variations utilise le formalisme des systemes differentiels exterieurs et celles de f. Clarke, p. D. Loewen, r. T. Rockafellar, r. Vinter et h. Zheng utilisent le formalisme de l'analyse non-lisse. On avait aussi observe auparavant que si les contraintes etaient resolues par rapport aux derivees, qu'il etait possible de le resoudre simplement en appliquant le principe du maximum de la commande optimale. Plus generalement il s'applique lorsque les contraintes definissent une sous-variete du fibre tangent de la variete ambiante et que la projection sur la base restreinte a cette sous-variete soit une submersion (plus precisement une projection de fibre localement triviale). Dans cette these on propose un algorithme qui permet, dans les cas favorables, de reduire l'etude du probleme de lagrange a l'etude d'un probleme de commande optimale classique et donc d'appliquer le principe du maximum. Cette reduction est fondee sur la remarque, assez connue, suivante : les trajectoires appartenant a une sous-variete du fibre tangent sont en fait le plus souvent, contenues dans un sous-espace propre de la sous-variete. Dans le cas simple qui nous interesse, cela ne peut arriver qu'aux points de la sous variete ou la restriction de la projection canonique du fibre tangent a la sous variete, n'est pas une submersion. De plus, cet algorithme definit une classe d'equation differentielle implicite bien posee et son invariant geometrique associe. L'interet de cette approche est illustre, d'une part dans le premier chapitre pour les systemes lineaires implicites a couts quadratiques et dans le deuxieme chapitre a travers trois exemples : la balle sur le plateau en rotation, la voiture et le skate-board. Dans le troisieme chapitre nous rappelons, dans un premier temps, comment l'algorithme d'inversion permet de definir une equation differentielle implicite bien posee, son indice et d'obtenir localement un systeme explicite. Puis, nous montrons qu'une equation differentielle implicite bien posee au sens de cette definition est une equation differentielle implicite bien posee au sens de la definition precedente, et que les indices sont les memes. Nous donnons egalement une forme canonique de l'equation differentielle implicite. Enfin, nous montrons comment, en appliquant formellement le principe de lagrange au probleme de lagrange implicite, nous obtenons, sous une forme implicite, des conditions necessaires d'optimalite qui sont reliees aux conditions necessaires d'optimalite du probleme de commande optimale explicite par une submersion de lie-backlund.