Interfaces rigides des modèles sur réseau : une application de la positivité par réflexion
Institution:
Aix-Marseille 2Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We study interfaces for four spin models on the lattice Zd, d ≥ 3: the Ising model at low temperature, the Potts model at critical point, a continuous symmetry model and its associated clock approximation. Interfaces of the last two models were not previously dealt with. For each model, we use specific boundary conditions that force the existence of an interface; related Gibbs measures then satisfy the so-called chessboard estimates, which are powerful correlation inequalities. These estimates are a simple way of showing that such interfaces are rigid, in the sense that they deviate only locally from a perfect hyperplane. This method is a restricted version of the so-called reflection positivity method, since reflections in certain directions are forbidden by the chosen boundary conditions. In the case of Ising and Potts models, our method drastically simplifies historical proofs respectively devised by Dobrushin and Messager et al. , since its requires neither Pirogov-Sina˘ı theory nor cluster expansions. Besides, PS-theory is not directly available for the continuous model and its clock approximation, their ground states being infinitely degenerated; our method is thus a true alternative to such techniques.
Abstract FR:
Nous étudions les interfaces de quatre modèles de spins sur le réseau Zd, d≥ 3 : le modèle d’Ising à basse température, le modèle de Potts à la température critique, un modèle à symétrie continue et son approximation d’horloge ; les interfaces de ces deux derniers modèles n’ont jamais été étudiées auparavant. Pour chacun de ces modèles, nous imposons des conditions au bord spécifiques qui assurent l’existence d’une interface ; les mesures de Gibbs associées à de telles conditions au bord satisfont alors de puissantes inégalités de corrélation, dites de l’échiquier. Ces inégalités nous permettent de montrer que les interfaces considérées sont rigides, au sens où ce sont des hyperplans légèrement déformés par des aspérités locales. Cette méthode est une version restreinte de la méthode de positivité par réflexion, l’une des directions de réflexion étant prohibée par les conditions au bord choisies. Pour Ising et Potts, notre méthode simplifie considérablement les démonstrations historiques respectivement dues à Dobrushin et Messager et al. , puisque ni la théorie de Pirogov-Sina˘ı, ni les développements en amas ne sont nécessaires à son application. Par ailleurs, la théorie-PS n’est directement envisageable ni pour le modèle continu ni pour son approximation car leurs états fondamentaux sont infiniment dégénérés ; notre méthode est donc une réelle alternative à ces techniques