Courbes invariantes pour les dynamiques holomorphes fibrées
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
A fibered holomorphic transformation (FHD) is a fibered continuous function (\theta,z)\to (\theta+\alpha,f_{\theta}(z)), defined in a product T^{1}\times U, where U\subset C is an open set, \alpha is an irrational number and f_{\theta} is a univalent function for every \theta\in T^{1}. We focus on the study of invariant curves. These objects play the role of a center for local dynamics. This work has two main parts. The first part contains a study of the local dynamics around an invariant curve. We show that this dynamics is controlled by some infinitesimal data associated to the curve (multiplier and fibered rotation number). Indeed, in chapter 2 we prove that non-indifferent invariant curves are linearizable; the equivalence between Lyapunov stability and linearization in the indifferent case; a Siegel linearization theorem for the fibered case; and a fibered version of the P\'erez-Marco hedgehogs theorem. The second part contains the main results of this work. In this part we focus on persistence of an invariant curve under small perturbations. In chapter 3 we prove the persistence of non-indifferent curves. In chapter 4 and 5 we treat persistence of indifferent, zero degree invariant curves, with a given fibered rotation number. In chapter 4 we prove that in the C^{\infty} class persistence of the curve occurs provided that the pair of rotation numbers verifies a diophantine-like arithmetical condition. We also show that this condition is optimal. In chapter 5 we prove that in the analytical class persistence of the curve occurs provided that the pair of rotation numbers verifies a Brjuno-like arithmetical condition. We also show a parametrized version of the main theorem.
Abstract FR:
Une transformation holomorphe fibrée (DHF) est une fonction fibrée continue de la forme (\theta,z)\to(\theta+\alpha,f_{\theta}(z)), définie dans un produit T^{1}\times U, où \subset C est un ouvert, \alpha est un nombre irrationnel et _{\theta} est une fonction univalente pour tout \theta \in T^{1}. Nous nous concentrons dans l'étude des courbes invariantes. Ces objets jouent le rôle d'un centre pour la dynamique locale de telles transformations. Ce travail est divisé en deux parties. La première contient une étude de la dynamique locale d'une DHF autour d'une courbe invariante. Nous montrons que cette dynamique est contrôlée par certaines données associées à la courbe. Plus précisement, dans le chapitre 2 nous montrons que les courbes attractives sont linéarisables; l'équivalence entre la stabilité de Lyapounov et la linéarisation dans le cas indifférent; un théorème de linéarisation de Siegel fibré; et une version fibrée du théorème des hérissons de Pérez-Marco. La deuxieme partie contient les résultats majeurs de ce travail. Dans cette partie nous nous concentrons sur la persistance d'une courbe invariante sous des petites perturbations. Au chapitre 3 nous montrons la persistance d'une courbe non-indifférente. Aux chapitres 4 et 5 nous traitons la persistance d'une courbe indifférente de degré nul avec un nombre de rotation transversal donné. Au chapitre 4 nous montrons que dans la classe C^{\infty}, la persistance a lieu pourvu que la paire de nombres de rotation associée vérifie une condition arithmétique de type diophantienne. Nous montrons aussi que cette condition est optimale. Au chapitre 5 nous montrons que dans la classe analytique, la persistance a lieu pourvu que la paire de nombres de rotation associée vérifie une condition arithmétique à la Brjuno.