Abstract FR:

Dans ce travail on caractérise l'image de Fourier de plusieurs espaces de distributions sur certains groupes de Lie et on donne des applications. Les théorèmes de Paley-Wiener sont décrits par rapport à une famille fondamentale de compacts et d'opérateurs de multiplication. Ces objets sont construits via une fonction sous-multiplicative propre continue. L'espace de Paley-Wiener des distributions à support compact devient donc l'espace des opérateurs sur un espace de type Sobolev, vérifiant quelques propriétés. Les théorèmes de Paley-Wiener sur l'espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact (resp sur l'algèbre des fonctions de carrés intégrables a support compact) sont étudiés. Pour des cas particuliers de groupes de Lie, des simplifications interviennent et les opérateurs étudiés sont alors de Hilbert-Schmidt. On donne ensuite une formule de Plancherel sur le produit semi-direct de groupes et par conséquent nous étudions la résolubilité locale d'une classe d'opérateurs différentiels. La notion de p-convexité et "surjectivité" d'une famille d'opérateurs différentiels est aussi étudiée. Enfin à partir d'une formule de Kirillov sur les nilpotents, nous étudions certains caractères sur ces groupes.