Rang de surfaces elliptiques : théorèmes de comparaison
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Let E be an elliptic surface defined over a number field k of generic rank r. A corollary of a specialization theorem (Neron, Silverman) assures that the rank of almost all fibres is at least equal to r. The main goal of this thesis is to improve the lower bound of the rank for infinitely many fibres. For a rational elliptic surface we show, subject to conditions on the fc-minimal model, that the set of fibres whose rank is at least r + 2 is infinite. In the case of K3 elliptic surfaces we obtain, modulo conditions, infinitely many fibres whose rank is at least r-f 1. The main technique is geometric and consists in producing base changes that satisfy sufficient conditions to assure that the base changed surface has two independant new sections and a base with infinitely many rational points. We also study other arithmetic and geometric aspects of elliptic surfaces such as the connection between the bad fibres and the points blown up to obtain a rational elliptic surface, the construction of rational elliptic surfaces of rank five and finally the sign of the functional equation in a family of elliptic curves.
Abstract FR:
Soit E une surface elliptique définie sur un corps de nombres k de rang générique r. Un corollaire d'un théorème de spécialisation (Néron, Silverman) garantit que le rang de presque toutes les fibres est au moins égal à r. L'objectif principal de cette thèse est d'améliorer la borne inférieure pour une infinité de fibres. Pour les surfaces elliptiques rationnelles, on démontre moyennant certaines conditions sur leurs modèles minimaux, que l'ensemble de fibres dont le rang est supérieur ou égal à r + 2 est infini. Dans le cas des surfaces elliptiques K3 on obtient, modulo conditions, une infinité de fibres dont le rang supérieur ou égal à r -h 1. La technique principale est géométrique et consiste à produire des changements de base qui satisfont des conditions suffisantes pour garantir que la nouvelle surface possède au moins deux nouvelles sections indépendantes et a comme base une courbe avec une infinité des points rationnels. On étudie aussi d'autres aspects arithmétiques et géométriques des surfaces elliptiques comme le rapport entre les mauvaises fibres et les points éclatés pour obtenir une surface rationnelle, la construction des surfaces elliptiques rationnelles de rang cinq et enfin le signe de l'équation fonctionnelle dans une famille de courbes elliptiques.