Géométrie des espaces des cycles : waist et graphes minimaux
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis we are interested in the geometry of the space of cycles. We treat this problem by studying the invariant waist introduced by M. Gromov. We give a complete proof for the waist of the sphere theorem of M. Gromov. This proof is long and contains ideas coming from several branches of mathematics. We go further by generalizing this theorem for the unit spheres of the uniformly convex spaces. We give a lower bound for the waist of such spaces. Our result generalizes an isoperimetric inequality of M. Gromov and V. Milman. We study the topological/geometrical complexity of the space of cycles. Our particular interest is the space of 1-cycles embedded on the plane. We see 1-cycles as graphs and we search for the maximum number of vertices of minimal embedded graphs on the plane. We find the exact number for the case of 3-regular graphs and we give a conjecture for the general case.
Abstract FR:
Dans cette thèse, on étudie la géométrie de l'espace des cycles par le biais de l'invariant waist, introduit par M. Gromov. On donne une preuve complète du théorème de waist de la sphère de M. Gromov. Cette preuve est longue et contient des idées de divers branches de mathématiques. On va plus loin en généralisant ce théorème pour les sphères unités des espaces uniformément convexe en donnant une borne inférieure pour le waist de ces espaces. Ce théorème généralise une inégalité isopérimétrique donnée par M. Gromov et V. Milman. On s'intéresse à la complexité topologique/géométrique de l'espaces des cycles. On traite le cas particulier des 1-cycles plongés dans le plan. On voit les 1-cycles comme des graphes et on s'intéresse au nombre maximum des sommets des graphes minimaux plongés dans le plan. On trouve une borne exacte pour les graphes minimaux 3-réguliers. On donne une conjecture pour le cas général.