Abstract FR:

L'objet essentiel de cette thèse consiste à établir un critère homologique permettant de décider si une application f entre deux variétés Haken est homotope à un homéomorphisme. Ce critère est le suivant : Soient M3 et N3 deux variétés Haken fermées possédant le même volume simplicial de Gromov. Soit f : M3 ? N3 une application telle que pour tout revêtement fini M ̃de M3 induit via f par un revêtement fini Ñ de N3 le relèvement f ? : M? ? Ñ de f est une équivalence d'homologie entière. L'application f est alors homotope à un homéomorphisme. La première étape consiste à montrer que l'on peut supposer, à revêtement fini près, que la variété au but N3 vérifie la propriété suivante : les composantes seifertiques de N3 sont homéomorphes à des produits du type F x S1, où F est une surface orientable et le premier nombre de Betti de N est suffisamment grand. La deuxième partie étudie la dégénérescence, sous l'action de l'application f, des tores caractéristiques de la décomposition de Jaco-Shalen de la variété M3. Dans la troisième partie on établit un théorème de factorisation qui montre que l'application f est homotope à un effondrement. Enfin la dernière partie est consacrée à la démonstration du résultat central. On utilise dans un premier temps le théorème de factorisation qui permet de simplifier la situation générale puis on établit un lemme de revêtement pour les variétés hyperboliques de M3 dont la preuve est basée sur la théorie des déformations des structures hyperboliques de W. P. Thurston.