Abstract FR:

Cette these comprend deux parties independantes. La premiere s'interesse au probleme de lu qi-keng. Ce probleme consiste a chercher des conditions geometriques simples assurant qu'un domaine de c n est de lu qi-keng, c'est a dire que son noyau de bergman ne s'annule pas. Nous construisons des domaines algebriques concrets dans c n avec n 3 qui satisfont beaucoup de proprietes geometriques et qui ne sont pas de lu qi-keng. Notre resultat montre qu'une caracterisation simple des domaines de lu qi-keng n'est pas facile a obtenir. La seconde est consacree a developper l'analyse complexe sur une classe de domaines convexes generalisant les boules minimales et les boules euclidiennes. On commence par l'etude des espaces de hardy h p, les theoremes de type fatou et koranyi-vagi et le phenomene de nagel-stein dans la boule minimale. On s'interesse ensuite a resoudre l'equation avec estimation lipschitzienne d'ordre 1/2 dans cette boule. Le fil conducteur de notre methode est de considerer tous ces problemes sur une variete complexe auxiliaire, puis de trouver le moyen de transporter le resultat de cette variete a la boule minimale. En generalisant cette methode, nous etablissons des estimations lipschitziennes optimales pour l'equation dans une classe de domaines convexes. Il est a noter que nos resultats sont les premiers obtenus en matiere de comportement au bord de fonctions holomorphes ainsi que de regularite lipschitzienne pour l'equation sur des domaines non homogenes, non lisses par morceaux et non strictement pseudoconvexes. Ils nous permettent de constater le role joue par la regularite du bord dans ces theories.