Abstract FR:

Cette these est consacree a l'analyse des proprietes spectrales d'operateurs differentiels et aux differences finies a coefficients periodiques et presque-periodiques. La premiere partie de cette these porte sur des problemes inverses pour des operateurs de dirac en dimension 1 dont les potentiels sont des fonctions uniformement presque-periodiques, i. E. Uniformement approchees par des fonctions periodiques. La classe de donnees spectrales que nous etudions est definie par une condition sur la resolvante et par certaines conditions sur la geometrie du spectre. Nous demontrons que ces donnees definissent un potentiel uniformement presque-periodique. La deuxieme partie de la these est consacree a l'etude du spectre et des fonctions propres d'operateurs de schrodinger discrets multidimensionnels. Nous considerons des potentiels dont le support est un sous-espace propre de l'espace considere. En guise d'introduction, nous commencons par expliquer les motivations spectrales et physiques de cette etude et nous definissons la notion de potentiel porte par un sous-espace. Ensuite, nous presentons une methode generale d'etude des operateurs a potentiel porte par un sous-espace. Cette methode utilise fortement l'identite de la resolvante et permet de reduire le probleme spectral pose a un probleme spectral en dimension inferieure. Cette methode est appliquee dans deux situations differentes. Au chapitre 2, nous etudions un exemple d'operateur de schrodinger discret a potentiel porte par un sous-espace, et periodique dans ce sous-espace. Les methodes de la theorie des perturbations nous permettent de montrer que le spectre est absolument continu et d'obtenir une description detaillee des fonctions propres generalisees. Au chapitre 3 nous nous interessons a une classe de potentiels de surface quasi-periodiques. Nous montrons que le spectre est purement ponctuel et dense pour de grandes valeurs de l'energie et les fonctions propres correspondantes sont toutes a decroissance exponentielle a l'infini. En annexe, nous donnons enfin trois exemples de potentiels surfaciques pour lesquels on peut resoudre de facon completement explicite le probleme spectral correspondant.