Propriétés de l'application centre d'une hypersurface affine
Institution:
ValenciennesDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The subject of the thesis is in the field of affine differential geometry. This study belongs to the program of Felix Klein. Let us suppose that f is an equiaffine immersion which is not degenerate. That enables us to decompose the vector position f into a tangent part c_f, which we call the center map of f and a part in the direction of equiaffine normal ξ. A hypersurface is a proper affine hypersphere if and only if the center map is constant. We are interested in the case where the center map is congruent with the immersion original immersion. Furuhata and Vrancken obtained a classification such surfaces in dimension 2. We have succeeded to obtain classification results in arbitrary dimensions. We also showed how one can construct all these solutions starting from a proper affine sphere of lower dimension. Moreover, we obtained the following result: an immersion of a generic hypersurface which is congruent with its center map is centroaffine canonical. Finally, we supplement the classification in dimension 3 by looking at all the other cases possible for the equiaffine shape operator (multiple eigenvalues or with zero eigenvalue).
Abstract FR:
Le sujet de la thèse se situe dans le domaine de la géométrie différentielle affine. Cette étude fait partie du programme Félix Klein. Supposons que ƒ : M → Rn+1 est une immersion équiaffine qui est non dégénérée. Cela nous permet de décomposer le vecteur position ƒ en une partie tangente cƒ (qu'on appelle l'application centre de ƒ) et une partie dans la direction de ξ. Une hypersurface est une sphère affine propre si et seulement si l'application centre de ƒ est constante. Dans cette thèse, nous sommes intéressés par le cas où l'application centre est congruente à l'immersion d'origine. Furuhata et Vrancken ont obtenu une classification en dimension 2. Nous avons réussi à obtenir des résultats des classifications là dessus en dimension arbitraire. En effet, dans la thèse, nous avons montré aussi comment on peut construire toutes ces solutions à partir d'une sphère affine propre de dimension n - 2. En plus, nous avons obtenu le résultat suivant : une immersion affine d'une hypersurface générique congruente à son application centre de ƒ alors ƒ est congruente à une hypersurface centroaffine canonique. Finalement, dans le dernier chapitre, nous complétons la classification en dimension 3 en regardant tous les autres cas possibles pour l'opérateur de forme equiaffine S (des valeurs propres égales ou des valeurs propres égales à zéro).