Divers aspects des algèbres de Koszul généralisées
Institution:
Saint-EtienneDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
R. Berger has generalized in 2001 the Koszul property of quadratic algebras, dened in 1970 by S. B. Priddy, to N-homogeneous algebras for N 2 (J. Algebra 239 (2001) p. 705-734). We're interested in this thesis by several aspects of this homological property, called generalized Koszul property. We begin by showing that if one takes the quotient of a generalized Koszul algebra by normal and regular elements, one gets a generalized Koszul algebra. This result generalizes to N-homogeneous algebras with N 2 a theorem by B. Shelton and C. Tingey for quadratic algebras. Then, we study the links between the generalized Koszul property and certain numerical relations involving the Hilbert and Poincaré series of A and of the Yoneda algebra of A, where A is a connected graded algebra. We give in particular a numerical criterion for the generalized Koszul property, which generalizes a result by A. Beilinson, V. Ginzburg and W. Soergel for the quadratic case. We then show that certain superalgebras, associated to Hecke operators, have the generalized Koszul property (P. H. Hai, M. Lorenz et B. K. , arXiv:0704. 1888v2, to appear in J. Noncommutative Geometry). In order to do this, we use a sufficient condition for the generalized Koszul property called conuence. We end the thesis by a study of a conjecture by M. Dubois-Violette, concerning algebras which satisfy both the generalized Koszul property and the Gorenstein property (in the sense of Artin and Schelter) in global dimension 3. M. Dubois-Violette showed that these algebras are associated to multilinear forms that satisfy three particular properties (J. Algebra 317 (2007) p. 198-225). The conjecture says that conversely, the algebras associated to multilinear forms satisfying these three properties satisfy both the generalized Koszul and the Gorenstein properties in global dimension 3. We study in detail the three properties mentioned before, and we reduce the conjecture to the study of a morphism whose bijectivity is equivalent to the Koszul and Gorenstein properties
Abstract FR:
R. Berger a généralisé en 2001 la propriété de Koszul des algèbres quadratiques, définie par S. B. Priddy en 1970, à des algèbres N-homogènes pour un entier N supérieur ou égal à 2 (J. Algebra 239 (2001) p. 705-734). On s'intéresse dans cette thèse à divers aspects de cette propriété homologique, dite de Koszul généralisée. On commence par montrer que si l'on quotiente une algèbre de Koszul généralisée par des éléments normaux et réguliers, alors on obtient une algèbre de Koszul généralisée. Ce résultat généralise aux algèbres N-homogènes avecN supérieur ou égal à 2 un théorème de B. Shelton et C. Tingey pour la propriété de Koszul des algèbres quadratiques (cas N = 2). On étudie ensuite les liens entre la propriété de Koszul généralisée et certaines relations numériques impliquant les séries de Hilbert et de Poincaré de A et de l'algèbre de Yoneda de A, où A est une algèbre graduée connexe sur un corps commutatif. On donne notamment un critère numérique pour la propriété de Koszul généralisée, critère qui généralise au cas N supérieur ou égal à 2 un résultat de A. Beilinson, V. Ginzburg et W. Soergel. On montre ensuite que certaines superalgèbres, associées à des opérateurs de Hecke, satisfont la propriété de Koszul généralisée (P. H. Hai, M. Lorenz et B. K. , arXiv :0704. 1888v2, à paraître au J. Noncommutative Geometry). On utilise pour cela une condition suffisante pour la propriété de Koszul généralisée appelée confluence. On termine par l'étude d'une conjecture de M. Dubois-Violette concernant les algèbres qui possèdent la propriété de Koszul généralisée et qui sont Gorenstein (au sens d'Artin et Schelter) de dimension globale 3. M. Dubois-Violette a montré que ces dernières algèbres sont associées à des formes multilinéaires possédant trois propriétés particulières (J. Algebra 317 (2007) p. 198-225). La conjecture annonce que réciproquement, les algèbres associées à des formes multilinéaires vérifiant ces trois propriétés satisfont la propriété de Koszul généralisée, sont de dimension globale 3 et satisfont la propriété AS-Gorenstein. On étudie en détail les trois propriétés et on ramène la conjecture à l'étude d'un morphisme de A-modules dont la bijectivité caractérise les propriétés de Koszul et AS-Gorenstein