Espaces de Sobolev avec poids et problèmes elliptiques non homogènes dans le demi-espace
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Abstract EN:
The aim of this PhD thesis is the solution of some elliptical problems in the half-space RN+ , with N _ >2. Using the results on the Dirichlet and Neumann problems for the Laplace operator in this geometry, we have explored various aspects of the biharmonic and Stokes problems. We give existence, uniqueness and regularity fundamental results in LP theory, with 1 < p < 1. For that, we consider data and give solutions which live in weighted Sobolev spaces. We assume that the boundary conditions are nonhomogeneous and we also take them in weighted Sobolev spaces. An important aspect of this study is the case of singular boundary conditions and the very weak solutions which correspond to it. We also treat the question of non standard boundary conditions, in particular the Navier conditions for the Stokes problem.
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est la résolution de problèmes elliptiques dans le demiespace RN+, avec N _> 2. En partant des problèmes déjà traités de Dirichlet et de Neumann pour l'opérateur de Laplace dans cette géométrie, nous avons exploré di_érents aspects du problème biharmonique et de celui de Stokes. Nous donnons des résultats fondamentaux d'existence, d'unicité et de régularit é en théorie LP, avec 1 < p < 1. Le cadre fonctionnel dans lequel nous nous plaçons est celui des espaces de Sobolev avec poids. Nous considérons ici des conditions aux limites non homogènes qu'on suppose également dans des espaces de Sobolev avec poids. Un aspect non négligeable de cette étude a trait aux conditions aux limites singulières et aux solutions très faibles qui en découlent. Il y est aussi abordé la question des conditions aux limites non standard, en particulier de type Navier pour le problème de Stokes.