Abstract FR:

Cette thèse traite des propriétés des systèmes dynamiques associés aux ensembles de Delone et paysages apériodiques et répétitifs de l’espace euclidien. Dans la première partie nous construisons des systèmes de tours pour l’enveloppe d’un ensemble Delone linéairement répétitif en utilisant les méthodes de Bellisard, Benedetti et Gambaudo et prouvons qu’il y a une borne uniforme pour la taille et les coefficients des matrices de transition associés. Ensuite nous généralisons un résultat de Lagarias et Pleasants en donnant une condition suffisante pour que la fréquence approximé d’un motif converge « assez rapidement » à la fréquence du motif. Cette condition est vérifiée par tous les motifs d’un ensemble de Delone substitutif de type Pisot. Dans la deuxième partie, nous étudions les fonctions croissantes de la droite réelle qui ont un déplacement qui dépend localement d’un ensemble de Delone donné. Tout d’abord, nous établissons leur correspondance avec les endomorphismes de l’enveloppe continue de l’ensemble de Delone qui préservent l’orientation et sont isotopes à l’identité. Ensuite, nous étudions l’ensemble de translation de ces endomorphismes. En particulier, nous montrons que les endomorphismes sans point fixes possèdent un unique nombre de translation et donnons une généralisation du théorème de Poincarré, classifiant les homéomorphismes du cercle. Pour cela, nous étudions l’existence d’une semi conjugaison entre l’endomorphisme et la translation engendrée par son numéro de translation et dans une condition assez naturelle nous démontrons qu’elle dépend des propriétés « arithmétiques » du nombre de translation, qui sont reliées aux valeurs propres de l’enveloppe.