Abstract FR:

Cette these est consacree a la construction et a l'etude de la mesure de yang-mills en deux dimensions. Si l'on s'en tient a la description informelle qu'en donnent les physiciens, il s'agit d'une mesure de probabilites sur l'espace des connexions modulo transformations de jauge sur un fibre principal dont le groupe de structure est compact. Nous nous interessons ici au cas ou la base de ce fibre est une surface compacte orientable. La construction de la mesure dans un cadre discret est comprise dans ses grandes lignes depuis les travaux de e. Witten. En revanche, le passage a la limite continue de cette construction est reste jusqu'a maintenant problematique. Plusieurs travaux menes dans cette direction ont amene des progres, sans toutefois aboutir a des resultats entierement satisfaisants. Ce travail presente une approche complete et unifiee de la theorie discrete et de son passage a la limite continue. Il aboutit a une definition geometriquement coherente de la mesure de yang-mills sous la forme d'une holonomie aleatoire le long d'une grande classe de lacets, intrinseque et naturelle. Cette definition permet d'etudier aussi bien les proprietes combinatoires de la mesure, comme son comportement markovien lors du decoupage et du recollement des surfaces, que ses proprietes plus specifiques au cadre continu, par exemple des proprietes a l'echelle microscopique. En particulier, on clarifie les liens entre la mesure de yang-mills et le bruit blanc et on met en evidence une difference profonde entre les theories a groupe de structure abelien et semi-simple. On montre qu'il est possible de passer de la mesure au bruit blanc et vice versa dans le cas abelien, alors qu'on etablit dans le cas semi-simple un resultat d'independance asymptotique compte tenu duquel il est certainement impossible d'extraire un bruit blanc de la mesure.