Abstract FR:

Le thème de ce travail est l'étude du niveau de certains corps. Dans la première partie de cette thèse on étudie le niveau d'extensions quartiques. (q() : q = 4), , c ou le polynôme minimal de est de la forme x#4 + d avec d , z. Dans la deuxième partie on détermine le niveau du corps de nombres k=q() ou q() : q = n, , c et le polynôme minimal de est de la forme x#n + d ou d , q et n , n*. Ce qui généralise bien les théorèmes sur le niveau d'extensions quadratiques et quartiques de polynôme minimal de la forme x#n + d. Dans la troisième partie, on montre que si n est un entier (n3) le niveau de q#2(#n), ou #n est une racine primitive n#i#e#m#e de l'unité dans une clôture algébrique q#2 de q#2 est le même que celui du corps q(e#2#i##/#n). Mais le niveau de q(e#2#i##/#n) est bien connu a part le fait qu'il subsiste un problème quand n est premier congru a 1 modulo 8. On donne ici en appendice un algorithme et le résultat obtenu a l'exécution (pour p30000, mais en réalité le programme peut aller jusqu'a p64000 et une légère amélioration de ce programme permet d'aller jusqu'a 10#3#1) qui donne l'ordre de la classe de 2 dans (z/p z)* pour p 1 mod 8, p premier. L'avantage de cet algorithme réside sur le fait qu'on ne manipule que des nombres p alors que si on travaille directement avec des puissances de 2 on dépasse facilement p. La quatrième partie est consacrée a l'étude du niveau de q#p(#n) ou p est un nombre premier impair et #n une racine primitive n#i#e#m#e de l'unité dans une clôture algébrique de q#p. On termine en donnant quelques résultats sur le niveau d'extensions kummériennes de q(e#2#i##/#n).