Théorème de Torelli pour les intersections complètes de trois quadriques de dimension paire
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Ln this work, we study the Hodge structure of even-dimensional quadric bundles X over the projective plane. We associate to X a surface S: the double cover of P² ramified over the discriminant curve C parametrising the singular fibers of X. We prove that the primitive cohomology of S is an extension of F₂ by the primitive cohomology of X; the morphisms involving in this extension are morphims of Hodge structures. We also calculate the extension class. This extension class gives a theta-characteristic of C. Ln another way, more geometrically, we associate another theta-characteristic of C, which determine X in many cases. Here appear two problems: is the discriminant curve generic? are the two theta-characteristic equal ? The answer is yes in two completely analogous cases: the cases of the quadric bundles obtained from intersection of three quadrics of even dimension and from the cubic hypersurface in P2m+3 containing a 2m-linear space. This allows us to applicate the generic Torelli theorem for the double-plane of Donagi and we conclude that the Torelli theorem is true for these two classes of varieties.
Abstract FR:
Dans ce travail, nous étudions la structure de Hodge des fibrés en quadriques X de dimension paire au-dessus du plan projectif. On associe à X une surface S: le revêtement double de P² ramifié au-dessus de la courbe discriminante C paramétrisant les fibres singulières de X. On montre que la cohomologie primitive de S est extension de F₂ par la cohomologie primitive de X; les morphismes définissant cette extension sont des morphismes de structures de Hodge. On calcule également la classe d'extension correspondante. Celle-ci fournit une theta-carctéristiques sur C. D'autre part, on associe de manière géométrique une autre theta-carctéristiques sur C qui détermine X dans de nombreux cas. On bute ici sur deux problèmes: les deux theta-carctéristiques sont-elles égales ? la courbe discriminante est-elle générique ? La réponse est affirmative dans deux cas complètement analogues, à savoir le cas des fibrés en quadriques obtenus à partir des intersections de trois quadriques de dimension paire et des hypersurfaces cubiques de P2m+3 contenant un 2m-plan. Ceci nous permet de d'appliquer le théorème de Torelli générique de Donagi pour les plans doubles et de conclure que le théorème de Torelli est vrai pour ces deux classes de variétés.