Abstract FR:

Nous essayons d’établir des formules de bonne division avec poids par un idéal, généralisant ainsi certaines formules de J. Briançon, J. Lipman, B. Teissier, C. Huneke et S. Itoh. Dans une première partie, nous introduisons la notion de puissances fractionnaires d’un idéal suivant M. Lejeune et B. Teissier, et nous étudions la validité d’une formule de division par cet idéal. Nous donnons une formule générale pour un anneau noethérien, inspirée des travaux de S. Itoh et M. Moralès sur les clôtures intégrales. Nous établissons aussi, dans le cadre de l’anneau des germes de fonctions holomorphes à l’origine de C puissance n et d’un idéal engendre par une famille non dégénérée au sens de A. G. Kouchirenko, une formule de division avec un poids associé à la filtration de Newton de l’anneau. Nous terminons cette partie par des résultats spécifiques à la dimension deux, nous donnons un contre-exemple à une conjecture de J. Briançon sur une formule de division par les puissances fractionnaires d’un idéal de C{x,y} engendré par une suite de paramètres. La seconde partie de ce travail est dédiée à la division avec poids par dƒ relativement à la courbe plane ƒ = 0 : on se donne un germe à l’origine de courbe plane défini par l’équation ƒ = 0, on introduit un poids sur les deux-formes holomorphes sur C puissance 2, associé à une désingularisation de la courbe. Nous établissons deux formules de bonne division, la première pour le cas ƒ non dégénérée, la bonne division est alors obtenue par l’idéal jacobien ; et la seconde dans le cas où ƒ est irréductible, dans ce cas nous divisons par l’idéal engendré par l’idéal jacobien et ƒ.