Abstract FR:

Dans la seconde partie du 16ème problème, Hilbert pose la question suivante: pour tout n, existe-t-il une borne c(n) du nombre de cycles limités (orbites périodiques isolées) de tout champ de vecteurs polynomial du plan de degré inférieur ou égal à n ? Roussarie a expliqué que le problème de Hilbert pouvait se poser plus généralement à propos des familles analytiques de feuilletages avec singularités sur S² et pouvait se réduire à une conjecture sur la cyclicité finie des déformations analytiques d'ensembles limites périodiques. Dans ce travail, on établit la finitude de la cyclicité de certains polycycles hyperboliques dégénérés dans des familles de champs de vecteurs. On regarde les déploiements de polycycles hyperboliques où toutes les connexions de Selle sont préservées sauf une. On montre que la cyclicité d'un déploiement (X λ; Γ) est finie ou Γ est un polycycle ayant deux sommets, points de Selle hyperboliques résonnants dont le produit des deux rapports d'hyperbolicité est égal à 1 et vérifiant des conditions hémicycle. Dans le cas où Γ est non identique on montre que la cyclicité est inférieure ou égale à un entier n qui ne dépend que du germe de X0 le long de Γ. Ensuite, on traite le cas ou le polycycle Γ décrit ci-dessus ne vérifie pas l'une des conditions hémicycle, ce qui entraîne l'apparition de deux compensateurs d'Ecalle-Roussarie. On prouve alors que la cyclicité de Γ dans toute déformation analytique reste finie. Enfin, on regarde les bifurcations d'un polycycle hyperbolique avec k sommets, points de Selle non résonnants dont le produit des rapports d'hyperbolicité est égal à 1. On démontre la propriété de quasi-régularité, entre autres, pour les déploiements de polycycles hyperboliques à k sommets