Probabilités sur les espaces de configuration d'origine géométrique
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We study several classical objects from algebra, geometry and combinatorics with a probabilistic point of view. The main example thereof is that of random groups: Which are the properties of a "typical" groups taken at random? A theorem of M. Gromov states that a group obtained by taking a random presentation is either hyperbolic or trivial, depending on the number of relations in the presentation, with a precise limit between triviality and hyperbolicity. We proved that hyperbolicity is stable: if we are given an initial hyperbolic group, then a quotient of this group by random relations is still hyperbolic if the number of relations is less than some critical density; above this density the random quotient is trivial. The critical density is explicitly known in terms of spectral or combinatorial properties of the initial hyperbolic group. We also study the concentration of measure phenomenon: a metric measured space is concentrated when all Lipschitz functions on this space are almost constant (generalisation of the law of large numbers). A theorem of Talagrand states that a product probability space is concentrated. We get a kind of reciprocal statement: every concentrated spaces resembles in some way, a product space. Finally we worked around genetic algorithms: we have shown that gene mixing through sexual reproduction is efficient whatever the population size. We also used a genetic algorithm in the space of phylogenetic trees in order to help solving the problem of the reconstruction of evolutionary relations among species. We applied genetic algorithm techniques to a group-theoretical algorithm, the PRA, whose behavior is poorly understood.
Abstract FR:
Nous étudions plusieurs objets classiques en algèbre et géométrie sous l'angle des probabilités. Le principal thème de recherche est les groupes aléatoires: quelles sont les propriétés d'un groupe " typique " choisi au hasard? Un théorème de M. Gromov affirme qu'un groupe obtenu par le choix d'une présentation aléatoire est soit hyperbolique, soit trivial, selon qu'il y a peu ou beaucoup de relations dans la présentation, avec une limite précise entre ces deux domaines. Nous avons montré que l'hyperbolicité est stable: si l'on part d'un groupe hyperbolique, un quotient de ce groupe par des relations aléatoire reste hyperbolique si la quantité de relations est inférieure à une certaine densité critique; au-dessus de la densité critique le quotient est trivial. La densité critique est explicitement connue en fonction de caractéristiques spectrales ou combinatoires du groupe hyperbolique de départ. Nous avons aussi étudié la concentration de la mesure: un espace métrique mesuré est concentré lorsque les fonctions lipschitziennes sur cet espace sont presque constantes (généralisation de la loi des grands nombres). Un théorème de Talagrand affirme qu'un espace de probabilité produit est concentré. Nous avons obtenu un début de réciproque: tout espace concentré ressemble, dans un sens faible, à un espace produit. Enfin nous avons travaillé autour des algorithmes génétiques: nous avons montré que le brassage des gènes par la reproduction sexuée est efficace quelle que soit la taille de la population. Nous avons appliqué un algorithme génétique dans l'espace des arbres phylogénétiques au problème de la reconstitution des relations évolutives entre espèces. Nous avons appliqué des techniques d'algorithmes génétiques à un algorithme de théorie des groupes, le PRA, dont le comportement est mal compris.