Dynamique de populations dans l'asymptotique des grandes déviations : statistiques de diffusions partiellement observées
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The first part of this thesis is devoted to the study of spatial branching processes using large deviations techniques. We first obtain a spatial generalization of the Malthusian parameter. Then, we prove the almost everywhere continuity of a monotone operator describing the asymptotic behavior of a nonhomogeneous spatial branching process. Finally, for populations with controlled offspring, we compare a deterministic modelisation (reaction-diffusion) and a stochastic modelisation (controlled branching processes) using numerical methods. The second part is concerned with the non-parametric and parametric inference for the drift function of a diffusion processe (Xt) on R, when one only observes either the first hitting times process (Ta) of increasing levels a, or the flat stretches of Xt, = sup (Xs, st) with length greater than η > 0, between two precribed levels x = Xo and A > x. For diffusions having positive drift, we prove that these observations are asymptotically sufficient with respect to the complete observation of (Xt) up to TA, when the variance of (Xt) and η, for the second observation, go simultaneously to O. We constuct estimators based on these observations. They are shown to be asymptotically normal, asymptotically equivalent to the maximum likelihood estimator based on the observation of (Xt) up to TA. We study in the third part models for cereal domestication.
Abstract FR:
Cette thèse comporte trois parties. Dans la première partie, nous étudions des processus de branchement spatiaux dans le cadre asymptotique des grandes déviations. Nous obtenons d'abord une généralisation du paramètre de Malthus, puis nous montrons la continuité presque partout d'un opérateur monotone décrivant le comportement asymptotique d'un processus de branchement spatial inhomogène. Enfin, pour des populations où la reproduction est contrôlée, nous comparons les modélisations déterministe (équation de réaction-diffusion) et stochastique (processus de branchement contrôlé) à l'aide de simulations numériques. La deuxième partie est consacrée à l'estimation non-paramétrique et paramétrique de la dérive d'un processus de diffusion sur R partiellement observé, dans le cadre asymptotique où la variance de la diffusion tend vers O. Nous étudions ce problème d'estimation quand on dispose, soit de l'observation du processus des records Mt = sup (Xs , s ≤ t) entre deux niveaux donnés x= X0 et A > x, soit d'une observation tronquée de Mt (constituée des paliers de (Mt) de longueur supérieure à un nombre positif donné η. Pour des diffusions ayant une dérive positive, nous montrons que ces observations sont asymptotiquement exhaustives par rapport à l'observation complète de (Xt) jusqu'au premier instant TA d'atteinte du niveau A, quand la variance de (Xt) et quand η, pour la deuxième observation, tendent simultanément vers O. Nous obtenons des estimateurs construits sur ces deux types d'observations asymptotiquement gaussiens asymptotiquement équivalents à l'estimateur du maximum de vraisemblance basé sur l'observation complète de Xt jusqu'à TA. Nous présentons, dans la troisième partie, une modélisation de la domestication des céréales.