Abstract EN:

Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique de certains aspects de l’équation de Vlasov-Poisson, qui constitue un modèle cinétique classique en physique des plasmas. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la justification rigoureuse d’approxi- mations de l’équation de Vlasov-Poisson avec un champ magnétique extérieur intense, qui sont couramment utilisées, notamment lors des simulations numériques. Le but est de dé- crire certains régimes d’intérêt par des modèles asymptotiques, obtenus en faisant tendre un petit paramètre vers 0 (modélisant la physique du problème considéré) dans les équa- tions originelles. Nous étudions pour commencer la limite quasineutre, c’est-à-dire la limite quand la longueur de Debye tend vers 0, pour l’équation de Vlasov-Poisson avec des élec- trons suivant une loi de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite des plasmas froids, à l’aide de la méthode de l’entropie relative et de techniques de filtrage, nous montrons la convergence vers des équations hydrodynamiques compressibles telles que l’équation d’Euler isotherme. Nous nous intéressons ensuite à l’approximation “rayon de Larmor fini” en trois dimen- sions, qui permet de décrire le comportement turbulent d’un plasma soumis à un champ magnétique intense. Pour cette étude, qui peut en fait être interprétée comme une limite quasineutre anisotrope, nous montrons des résultats très différents selon la dynamique dé- crite. En effet, dans le cas de la dynamique avec des électrons sans masse, nous exhibons un effet stabilisant qui permet d’obtenir le même résultat que pour le système bidimen- sionnel, alors que pour la dynamique avec des ions lourds, nous mettons en évidence les conséquences d’instabilités de type multi-fluides. Dans un second temps, nous nous consacrons à l’étude mathématique du confinement d’un plasma de tokamak. Nous commençons par proposer un modèle hydrodynamique simplifié à deux températures et étudions la stabilité au sens de Lyapunov de deux états stationnaires permettant de modéliser l’équilibre du plasma. Nos résultats sont conformes à l’heuristique physique et mettent de surcroit en évidence qu’un fort gradient de température favorise la stabilité : cela pourrait fournir une explication aux modes de haut confinement (H-modes) dans les tokamaks. Pour finir, nous attaquons ce problème du point de vue de la théorie du contrôle et prouvons des résultats pour l’équation de Vlasov-Poisson en présence de champs extérieurs (typiquement un champ magnétique).