Abstract FR:

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur deux thèmes s'inscrivant dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Le premier thème concerne les champs de Beltrami (ou champs sans-force) linéaires et non-linéaires. On s'intéresse essentiellement aux problèmes d'existence, d'unicité et de régularité de ces champs dans des domaines tri-dimensionnels bornés et non-bornés. De nouvelles méthodes pour les approcher numériquement sont aussi présentées et analysées dans le but de les utiliser pour reconstruire le champ magnétique de la couronne solaire. Le deuxième thème concerne quelques problèmes elliptiques fondamentaux dans le demi-espace. On utilise une famille d'espaces de Sobolev avec poids comme cadre fonctionnel pour décrire le comportement des solutions à l'infini. On montre dans un premier temps une classe complète d'isomorphismes concernant l'équation de Laplace avec des conditions aux limites inhomogènes de type Dirichlet ou Neumann. Dans un deuxième temps, on s'intéresse au cas tridimensionnel (n=3). On expose alors quelques résultats reliés aux operateurs gradient, divergence et rotationnel ainsi qu'aux problèmes de potentiels vecteurs et aux systèmes Div-Rot dans le demi-espace.