Bifurcations dans les systèmes réversibles de dimension infinie en présence d'un spectre essentiel : applications à la théorie des vagues
Institution:
NiceDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of bifurcations of a class of infinite dimensional reversible systems. These systems possess a family of equilibrium solutions near the origin. We also assume that the linearized operator at the origin Lε has an essential spectrum filling the entire real line, in addition to a simple eigenvalue at 0. Moreover, for parameter values ε > 0 there is a pair of imaginary eigenvalues which describe the situation. These assumptions are sufficient to prove the existence of a one-parameter family solutions, homoclinic to the equilibrium solutions near the origin. These homoclinic solutions are reversible and their decay rate at infinity is algebraic. They are approximated at main order by the Benjamin-Ono solitary wave. We also prove the existence of a two-parameter family of periodic solutions which are approximated at main order by solutions of the Benjamin-Ono equation for periodic functions. These results apply in the water-wave theory when one is looking for travelling waves for two superposed layers of perfect fluids, the bottom one being infinitely deep, the upper one being bounded by a rigid top or having a free surface with high surface tension. We obtain a family of solitary waves and a two-parameter family of periodic waves.
Abstract FR:
On étudie les bifurcations d’une classe de systèmes dynamiques réversibles de dimension infinie possédant une famille de solutions stationnaires près de l’origine. On suppose que l’opérateur linéarisé à l’origine Lε a un spectre essentiel sur l’axe réel et une valeur propre simple en 0. La bifurcation étudiée vient du fait que Lε possède une paire de valeurs propres simples imaginaires pour ε > 0. On donne les hypothèses sur Lε et sur le terme non linéaire qui précisent cette situation. Avec ces hypothèses, on montre l’existence d’une famille de solutions homoclines aux solutions d’équilibre près de l’origine. Ces solutions homoclines sont symétriques et leur décroissance à l’infini est algébrique. Elles sont approchées à l’ordre principal par l’onde solitaire de Benjamin-Ono. On montre également l’existence d’une famille à deux paramètres de solutions périodiques qui sont solutions à l’ordre principal de l’équation de Benjamin-Ono pour les fonctions périodiques. Ces résultats s’appliquent en théorie des vagues pour la recherche d’ondes progressives dans deux couches superposées de fluides parfaits, la couche inférieur étant de profondeur infinie, la couche supérieure étant bornée par une surface rigide ou ayant une surface libre avec une grande tension de surface. On obtient ainsi une famille d’ondes solitaires ainsi qu’une famille à deux paramètres de vagues périodiques.