Sur le spectre ponctuel des opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we study the spectral properties of a family of discrete one-dimensional quasi-periodic Schrödinger operators (depending on a phase theta). In a large disorder with piecewise analytic potential, under some suitable transversality condition and a diophantine rotation number, we prove using basically K. A. M. Theory that the spectrum of this operator have a large ponctual component. Moreover, the most of its eigenvectors are l²-localized in one sit. We give an explicit estimation of the measure of the punctual spectrum and we prove that the set of Theta for which this spectrum is empty have zero Hausdorff dimension.
Abstract FR:
Nous étudions dans cette thèse les propriétés spectrales d'une famille d'opérateurs de Schrödinger, quasi- périodiques, unidimensionnels (dépendant d’une phase thêta) dans le cas discret En se plaçant dans un régime de couplage fort avec on un potentiel analytique par morceaux, et sous certaines conditions de transversalité et un nombre de rotation diophantien, nous montrons, en utilisant la théorie K,A,M que le spectre d'un tel opérateur possède une grande composante ponctuelle, que la plupart des vecteurs propres sont l²-localisés en un site. Nous donnons une estimation explicite de la mesure du spectre ponctuel et nous montrons que l'ensemble de thêtas pour lesquelles le spectre ponctuel est vide est de dimension de Haucsdorff nulle.