Abstract FR:

Dans cette these, nous etudions le probleme de la convection naturelle dans deux cavites distinctes. Dans la premiere partie, nous montrons l'existence d'un attracteur global et estimons sa dimension (de hausdorff et fractale) en fonction du nombre de rayleigh et du rapport de forme. Ces resultats sont compatibles avec les experiences physiques du probleme. Dans la deuxieme partie, nous estimons numeriquement la dimension de l'attracteur. Pour ce faire, nous calculons les exposants de lyapunov locaux pour des signaux aperiodiques obtenus experimentalement ou numeriquement. Les solutions numeriques sont obtenues en resolvant les equations de la convection par une methode spectrale. Le calcul de ces exposants necessite la reconstruction de l'attracteur dans l'espace euclidien de dimension d (d obtenu a partir de l'observation experimentale). Cette reconstruction se fait grace a l'observation d'un point dit moniteur et la methode des retards. Nous mettons ainsi en evidence le scenario de ruelle-takens. Ensuite, nous donnons des approximations des operateurs tangents. Nous terminons l'algorithme par l'utilisation de la methode qr pour calculer le produit des operateurs tangents. On deduit alors les exposants de lyapunov et la dimension de l'attracteur. Nous testons ces algorithmes sur les equations de lorenz et au systeme dynamique discret de henon. Les calculs numeriques des exposants de lyapunov pour des signaux provenant du probleme de la convection nous ont permis de constater leurs caracteres chaotiques pour un certain nombre de rayleigh. La troisieme partie offre une autre preuve d'existence, d'unicite et de regularite des solutions pour le probleme de la convection via un theoreme abstrait. Ce theoreme peut etre applique a d'autres problemes de la mecanique des fluides sur un domaine physique quelconque et avec des donnees initiales irregulieres