Abstract FR:

Dans les chapitres 2 et 3 de cette these, on s'interesse aux sous-varietes de l'espace hyperbolique dont la courbure moyenne est constante et strictement inferieure a un. Le premier resultat qu'on obtient concerne l'operateur de stabilite. Dans notre cas, cet operateur est essentiellement auto-adjoint, et on connait un minorant positif de son spectre essentiel. On montre que le nombre de valeurs propres inferieures a ce minorant est fini, et on en obtient un majorant qui fait intervenir la courbure totale. Ce faisant, on obtient un majorant de l'indice de morse de sous-variete. Un des points importants de la preuve est de controler le noyau de la chaleur de la sous-variete. On obtient ce controle en montrant qu'on a sur la sous-variete des inegalites isoperimetriques. Le second resultat porte sur la compactification. On etend aux sous-varietes a courbure moyenne constantes un resultat de g. De oliveira pour les sous-varietes minimales: on montre que la sous-variete est diffeomorphe a l'interieur d'une variete compact a bord, et que l'immersion s'etend continument au bord en une application a valeurs dans le compactifie de l'espace hyperbolique. Dans le chapitre 4, on etudie les surfaces de revolution a courbure moyenne constante dans l'espace hyperbolique. On obtient une construction cinematique de leurs meridiennes analogue a celle donne par c. Delaunay dans l'espace euclidien. Les courbes a faire rouler ont des proprietes focales similaires a celles des coniques euclidiennes. On trouve les analogues hyperboliques des ellipses, des hyperboles ainsi qu'une surprenante famille de paraboles