Etude de certaines catégories de modules de poids et de leurs restrictions à des paires duales
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Abstract EN:
A major issue in Lie theory is to understand the category of modules over a given Lie algebra. Bernstein-Gelfand-Gelfand category O and then the category of weight modules studied from the 80's lead to an important breakthrough in this area. Cuspidal modules introduced to describe the category of weight modules are now at the heart of the theory. In this thesis, we introduce a family of categories extrapolating the category O and the category of cuspidal modules. In some cases, we describe completely the given categories. Then we use these categories to obtain a Howe type correspondence for some dual pairs.
Abstract FR:
Un problème majeur en théorie de Lie est de comprendre la catégorie de tous les modules d'une algèbre de Lie donnée. La catégorie O de Bernstein-Gelfand-Gelfand puis la notion de module de poids, exploitée à partir des années 80, ont permis une avancée considérable dans ce domaine. Les modules cuspidaux introduits pour décrire tous les modules de poids sont aujourd'hui au coeur de cette théorie. Nous introduisons dans cette thèse une famille de catégories extrapolant à la fois la catégorie O et la catégorie de tous les modules cuspidaux. Dans certains cas, nous décrivons entièrement la catégorie obtenue. Nous utilisons ensuite ces catégories pour décrire des correspondances pour certaines paires duales.