Abstract FR:

La these comprend deux parties independantes. Nous abordons en premier lieu la stabilite des solutions d'equations aux derivees partielles non lineaires avec condition de dirichlet satisfaites par les fonctions extremales d'inegalites de sobolev optimales avec exposant critique sur un domaine borne. On montre ainsi que celles-ci sont, sous des conditions classiques d'existence, stables d'une part, sous une perturbation visqueuse, et d'autre part, lorsque l'exposant varie. Nous etudions ensuite l'existence de solutions a des equations du type precedent, ou la condition de dirichlet est remplacee par une condition de neumann. Le probleme variationnel associe est ici une inegalite critique de sobolev pour des espaces de traces. Nous terminons la premiere partie par l'etude du flot associe a ces equations, et montrons ainsi divers theoremes d'existence et de comportement en temps fini. La seconde partie est consacree a l'etude d'une famille de transformations integrales derivees de la transformations en ondelettes. On introduit en effet dans l'analyse un terme de modulation en frequence lie a la dilatation par une loi parabolique, ce qui permet une meilleure resolution angulaire en frequence. Nous montrons d'abord que les transformations obtenues par ce procede sont inversibles modulo une operateur regularisant, et construisons un calcul pseudo-differentiel associe a ce type d'analyse. Enfin, nous posons les bases de la caracterisation d'espaces de banach anisotropes au sens ou ils sont composes de distributions dont la regularite est differente, voire opposee, suivant les directions.