Elasticité sur les anneaux du type A=XI[X]
Institution:
Aix-Marseille 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The subject of this work is to study and compute the elasticity of the type R=A+XI[X] domains where I is an ideal of an integral domain A. In a first chapter, we compute the elasticity of R is finite if and only if the ideal I is a product of distinct primes ideals which one all principal but at most one. On the other hand, we compute the elasticity of R according to the GCD decomposition of I. We finish by showing that the elasticity of R can't be realised by a factorisation (except if R is HFD). In the second chapter, we investigate the elasticity of R when A is a Dedekind domain. First, we prove that its elasticity is finite if and only if the elasticity of A is finite and I is a radical ideal. Then we bound the elasticity of R using the number of prime ideal in the factorisation of I and some Davenport-type constants. In some special cases we derive the exact value of the elasticity. In the last chapter, we investigate the elasticity of domains of the type R=A+XI(1) ++XI(k)[X]. We obtain some necessary conditions for the elasticity to be finite when A is integrally closed and some sufficient conditions when A is ACCP. We finish by proving that when A is a UFD or a Dedekind domain, the elasticity of R is finite if and only if the elasticity of T= A+XI(k) [X] est finie et les quotients [I(k)/I(i)] sont finis.
Abstract FR:
L'objet de ce travail est l'étude puis Ie calcu1 de l'élasticité des anneaux du type R=A+XI[X] Où I est un idéal de l'anneau intègre A. Dans une première partie, on caractérise entièrement l'élasticité de ces anneaux lorsque A est un anneau factoriel. On prouve d'une part que l'élasticité de R est finie si et seulement si l'idéal I est produit d'idéaux premiers distincts deux à deux tous principaux sauf au plus l'un d'entre eux. On calcule d'autre part l'élasticité de R en fonction de la décomposition PGCD de I dans A. Enfin on termine en montrant que l'élasticité de R ne peut être réalisée par une factorisation (sauf dans le cas HFD). Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'élasticité de R lorsque A est un anneau de Dedekind. On prouve d'abord que son élasticité est finie si et seulement si A est d'élasticité finie et I est un idéal radical. On obtient ensuite un encadrement de l'élasticité de R par deux constantes. Dans plusieurs cas où ces deux constantes sont égales, on calcule précisément cette élasticité. Dans la dernière partie, on s'intéresse à l'élasticité des anneaux de la forme R = A + XI(1) +. . . + XI(k)[X] On établit des conditions nécessaires de finitude lorsque A est intégralement clos. On exhibe ensuite des conditions suffisantes de finitude lorsque A est ACCP. On conclut enfin en affirmant que lorsque A est un anneau factoriel ou de Dedekind, l'élasticité de R est finie si et seulement si celle de T = A + XI(k)[X] est finie et les quotients [I(k)/I(i)] sont finis.