Abstract FR:

Cette these est divisee en deux parties. La premiere partie concerne l'existence d'hypersurfaces minimales a courbure totale finie dans r n + 1 avec n3. La seconde est consacree a l'existence de solutions de certaines equations aux derivees partielles elliptiques semi-lineaires dont l'ensemble singulier est constitue de sous-varietes a bord. Dans la premiere partie de cette these, on construit une famille d'hypersurfaces minimales completes de r n + 1 et qui ont un nombre prescrit de bouts k de type plan. On etend ainsi a toutes les dimensions les resultats de surfaces minimales ayant des bouts de type catenoidaux. La methode developpee ici pour leurs constructions est une procedure de recollement qui est basee sur l'analyse de l'operateur de courbure moyenne dans des espaces de holder a poids. L'espace des hypersurfaces que nous construisons est une variete analytique de dimension (k + 1) (n + 1). Dans la deuxieme partie, on se donne une sous-variete avec ou sans bord de dimension k et ou est un domaine regulier. On construit une famille de solutions positives des equations de la forme u + u p = 0 qui sont singulieres sur pourvu que p , ((nk)/(nk2), (nk + 2)/(nk2)). Ce resultat nous permet de construire de nouvelles solutions du probleme de yamabe singulier qui consiste a chercher une metrique complete g sur le complementaire d'un sous ensemble ferme d'une variete riemannienne compacte (m, g), qui est conformement equivalente a la metrique g et telle que sa courbure scalaire soit constante.