Abstract FR:

Dans toute la suite (a) sera un opérateur elliptique du second ordre, (oméga) un domaine de dimension (n), (lp) l'espace des fonctions ayant la p-ième puissance intégrable, (h) l'espace des fonctions ayant des dérivées jusqu'au premier ordre au carré intégrable, (ho) l'espace des fonctions de (h) s'annulant sur le bord, (wp) l'espace des fonctions ayant des dérivées jusqu'au deuxième ordre avec la p-ième puissance intégrable. On met entre parenthèses un symbole mathématique. Le contenu de ce travail est divisé en trois parties. Dans la première partie on étudie des équations semilinéaires de la forme : (f) appartient à (a)(u) + (bêta) ((x), (u)) ou (f) est dans (lp), (u) dans (ho), (bêta) ((x), variable) peut être une perturbation univoque monotone ou non monotone, un graphe maximal monotone, une fonction discontinue, pour presque tout (x) da (oméga). Des travaux en ce sens ont été faits par Brezis et Browder, Amann pour une perturbation univoque. On obtient des résultats du type suivant : lorsque la perturbation dépendante du domaine (beta) sépare deux graphes maximaux monotones indépendants du domaine, on a l'existence d'une solution (u) dans (wp). La technique utilisée repose sur une bonne régularité de la solution lorsque la perturbation monotone est indépendante du domaine et le principe du maximum. Dans le cas multivoque on considère dans un premier temps le problème correspondant à la régularisation de Yosida qui est univoque et ensuite passer à la limite via une méthode de compacité. Notre approche assure une classe entière des sous- et sur-solutions au sens de Amann, elle s'applique aux perturbations monotones multivoques et conduit à des estimations avec un bon contrôle des constantes par rapport aux données du problème. Dans la seconde partie on étudie des perturbations singulières du problème de Dirichlet ayant la forme suivante (epsilon) (a)(ue) + (beta)(ue) = (f) ou (epsilon) est le parametre positif de la perturbation, (ue) est dans (ho), (f) dans (lp), (beta) est une perturbation croissante, continue, univoque. Des travaux sur ce problème ont été faits par Lions, Brauner et Nicolaenko. On montre que la quantité (epsilon)(ue) converge dans wp fort vers la solution d'un problème limité qui est en fait une perturbation par un graphe maximal monotone spécial du problème du Dirichlet. La vitesse de la convergence dépendra du comportement asymptotique de la perturbation monotone (beta) autour de l'infini. On décrit le comportement de la solution pénalisée (ue) dans la partie du domaine ou la solution limite s'annule et on constate qu'il dépend de la nature coercive de (beta), du comportement asymptotique de (beta) autour de l'infini et de la régularité de la solution (uo) du problème (beta)(uo) = (f). On distingue les situations ou la perturbation monotone (beta) est bornée et non bornée. Nous élaborons une méthode de monotonie spécifique aux espaces (lp) qui généralise une méthode similaire de Lions pour (p) = 2. Le principe du maximum est un outil indispensable : il peut s'appliquer dans des situations ou le paramètre (epsilon) de la pénalisation est suffisamment petit ou pour dominer la suite pénalisée qui est susceptible de converger ponctuellement donc le théorème de convergence dominée de Lebesgue peut s'appliquer. La méthode de compacité sera souvent utilisée car on travaille dans des espaces réflexifs. Nos techniques s'appliquent aussi bien dans le cas ou la contrainte sur la solution pénalisée nulle sur le bord est remplacée par la contrainte constante inconnue sur le bord et l'intégrale de (beta)(ue) est une constante donnée. Pour ce problème on donne une approche analytique basée sur le principe du maximum avec caractérisation du comportement de la solution pénalisée dans la partie du domaine ou la solution limite s'annule. Dans certains travaux de Hilhorst et Diekmann on trouve une approche variationnelle avec l'étude de (epsilon)(ue) seulement. La troisième partie traite des inégalités variationnelles non locales de la forme : (u) dans (k), l'intégrale du produit ((a)(u) (f))((v) (u)) est positive pour tout (v) dans (k) un ensemble des fonctions de (ho) soumises à une contrainte convexe (j) telles que respectivement la différence (j)((x), (v)) (alpha) positive dans le domaine, la différence j((x),(v))(alpha) positive sur la frontière du domaine, la différence (j)((x), gradient (v)) (alpha) positive ou (alpha) est une constante positive. On continue certains travaux de Brezis et Stampacchia, Chipot. Nous développons une méthode de continuité qui consiste en plusieurs étapes : pénalisation, estimation à priori, stabilité de la solution pénalisée, continuité de la contrainte et existence via continuité. Cette approche permet de capter aussi à la limite les versions locales des problèmes étudiés notamment le problème du double obstacle. Dans certaines situations on utilise aussi les multiplicateurs de Lagrange. En général on obtient l'existence et l'unicité d'une solution (u) dans (wp). On étudie aussi des inégalités variationnelles du quatrième ordre de la forme : (u) dans (k), l'intégrale du produit ((a)(u) (f)) ((a)(v)(a)(u)) est positive pour tout (v) dans (k) un ensemble des fonctions de (ho) et (w2) soumises à une contrainte convexe (j) telles que respectivement : la différence (j)((x),(v))(alpha) positive, la différence (j)((x),(a)(v)) (alpha) positive. On obtient aussi que le problème du double obstacle pour l'opérateur biharmonique avec une fonction générique (f) dans (lp) admet une solution (u) dans (wp). On améliore des résultats de régularité obtenus par Brezis et Stampacchia, Caffare. . .