Abstract FR:

Dans cette thèse, nous étudions une classe d’hypersurfaces de C3, dites hypersurfaces de Danielewski. Ce sont les hypersurfaces XQ,n définies par une équation de la forme xny = Q(x, z) avec n ∈ N>1 et degz(Q(x, z)) > 2. Nous établissons leurs classifications complètes à isomorphisme près, et à équivalence via un automorphisme de C3 près. Pour cela, nous introduisons le concept de forme standard et montrons que toute hypersurface de Danielewski est isomorphe, par un procédé algorithmique, à une hypersurface sous forme standard. Cette terminologie est justifiée par le fait que tout isomorphisme entre deux formes standards s’étend en un automorphisme de l’espace ambiant (ce qui n’est pas vrai pour des hypersurfaces de Danielewski quelconques). Nous étudions aussi les problèmes de l’équivalence stable et de l’équivalence analytique. Nous construisons notamment des exemples de polynômes P,Q ∈ C[x, y, z] pour lesquels il n’existe aucun automorphisme algébrique de C[x, y, z] qui envoie P sur Q, bien que ces polynômes soient équivalents via un automorphisme de C[x, y, z,w]. La plupart de ces résultats reposent sur la description précise, grâce aux techniques développées par Makar-Limanov, des dérivations localement nilpotentes sur les algèbres des fonctions régulières des hypersurfaces XQ,n.